Question

[Angela jolie]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca>0. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đặt biểu thức vế trái là $P$

Hiển nhiên $a,b,c$ không thể cùng đồng thời bằng $0$

Nếu trong 3 số $a,b,c$ có 2 số bằng $0$ thì $ab+bc+ac=0$ (trái giả thiết)

Nếu trong 3 số $a,b,c$ có 1 số bằng $0$. Giả sử đó là $a$

Khi đó:

$P=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$ theo BĐT AM-GM $(*)$

Nếu cả 3 số $a,b,c$ đều lớn hơn $0$

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{b+c}{a}=\frac{b+c}{a}.1\left(\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}\right)^2\leq \left(\frac{a+b+c}{2a}\right)^2\Rightarrow \sqrt{\frac{b+c}{a}}\leq \frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq \frac{2b}{a+b+c}; \sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng theo vế thì $P\geq 2 (**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow$ đpcm.